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数学哲学讲座3(已初步整理)

作者:玄易居士 发表时间:2013-11-28 15:16:30

数学哲学讲座
幻影思维学群(166302011)2013年2月20日晚7:00

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关于几何
玄易居士 
我们今天先考验下大家对形式化的领会程度以及想象能力,我们在几何中,学过点和直线,可是点和直线究竟是什么,我们能不能真正的区分点和直线呢?大家说,点和直线究竟有没有区别?
哈巴金
点连成线,形态不一样。

点是点,直线是直线,点能构成直线 
玄易居士 
为了简单起见,就讨论一个平面上的点和直线吧,琉璃,你说点和直线,究竟有没有区别,晴,你也讨论讨论。
哈巴金
直观形态不一样
玄易居士 
那你们意思是点和直线是截然不同的了?
晴 
不是吧,点能构成直线 
玄易居士 
我今天就手把手教给大家,怎么建立一套新的几何学体系,只要大家肯参加讨论,我敢保证,今天讲的,绝对比前12次加起来还精彩。因为今天讲的,既能让大家明白,有有新意,超乎大家意料。
今天就讨论初中几何,最起码什么是点,什么是直线应该知道吧。
哈巴金
几个点可以构成一条线,也可以是平面
玄易居士 
琉璃,你说,点和直线,究竟是什么区别,他们的本质区别是什么,区分点和直线的标准是什么?
哈巴金
没什么区别 
皇影战神 
点动成线,线动成面
玄易居士 
那就是点和直线没区别?
哈巴金
线是由点构成的,就是 形态上 长的不一样,是相关联的。
玄易居士 
先不讨论面,我们讨论同一个面上的点和直线,这样说,是形象的来描述,在数学上,是不严格的。我觉得吧,点和直线,没什么本质区别,是完全可以互换的。战神说说你的观点,那也是很形象的描述。
皇影战神 
点指有位置而没有长、宽、厚的图形,点的集合就是线,不形象的不好说呀。
玄易居士 
嗯,我想提个问题,你们有没有想过,保持点和直线的形态不变,还是保持点和直线的形象,但是,在几何学的那些定理中,我们把点和直线互换一下,比方说,你们说点的集合就是线,我们能不能说,直线的集合就是点。我曾经考虑过,保持点和直线的形态不变,但是,把点和直线的位置互换一下,我们的几何学会变成另外一种形态,但是,在逻辑上可能没矛盾。
比如,我们说:两点确定一条直线,点和直线交换,就是:两条直线确定一个点,一条直线上有无数个点。两条直线相交,不正好确定一个点么。我们说,一条直线上有无数个点,也可以说,一个点上有无数条直线。过一个点,在不同方向上,就有许多的直线的
皇影战神
这里还行的通,但是感觉着这还是在前理论基础上
玄易居士 
是可以解释的,包括非欧几何,也可以在欧式几何中找到合适的解释,点和直线互换了,大家说,线段应该对应什么呢?直线换乘点,点变成直线,那么线段会变成什么样子呢?为了区分,我们把普通的正常的几何理论,称之为o理论,把点和直线交换之后的理论,就称为f理论吧。o理论中的点,就是f理论中的直线,o理论中的直线,就是f理论中的点,o理论中的线段,在f理论中,是什么呢?大家看看线段是怎么定义的,线段是直线上两点间的部分。
哈巴金
直线两点和他们之间的部分叫线段
玄易居士 
嗯,那么对应到f几何中,会是什么呢,把点换成直线,把直线换成点,在f理论中,就是点上两条直线之间的部分,聊天直线之间的部分,那是什么,就是角,当然,有四个角,其实只能算两个角,因为对顶角是完全相等的,所以呢,两条直线,就把一个点分为两部分,在o几何中,两个点把一条直线分为三个部分,如何对应呢?大家想想,怎么解决这个矛盾。
我们可以将直线像两个方向的延伸,看做他们在无穷远处合二为一,这样的话,用两个点,将一条直线分为两个部分,能想象的出来么?想象一下,一条直线,它向两个方向无限延伸,延伸……终于,某个时候,对头了,成为一个环,用两个点去截断,就会得到两个部分,对应的点呢,一条直线,围绕这个点旋转,也会与自己重合,一个点,在直线上向一个方向运动,也会回到原来的位置。想象一下,是不是?
皇影战神 
这算是一种情况吧,那永不闭合就是另一种了,在f理论中,就是点上两条直线之间的部分,两条直线之间的部分,那是什么,就是角。
玄易居士 
因为点式闭合的,那么与之对应的直线,在遥远的远方,也是闭合的,对的。
皇影战神 
这里的概念你又用原来的基础了
玄易居士 
是两个互补的角,对,o理论,就可以解释f理论,我发现,越来越像黎曼几何了。
皇影战神 
那这样只是换个角度认知。
玄易居士 
还会有其他的变化的。那就是没有了平行线的概念。
皇影战神 
难道是平行点了?
玄易居士 
在o几何中,如果两条直线没有共同点,那么这两条直线是平行的,但是,在f理论中,我们不能说,如果两个点,没有共同的直线,就说这两个点平行,因为任何两个点,都会有一条直线,那么,平行就被否决了,也就是说,在f理论中,没有平行的概念,f理论中的任意两条直线,必然有一个交点,也可以认为是两个,其实,如果说是两个,那么着两种理论,对应的会更好。f理论中,任意两条直线,都会有两个交点。
大家想想一下两个球面,一个球面叫o,一个球面叫f,那么,我们把o中的直线对应f中的点,o中的点,对应f中的直线,这样想象的话,就会很完美的对应了。仔细想想,是不是?
线段的长度,就对应角的度数,我们的角,不是有360度的限制么,如果一条直线会闭合的话,那么直线的长度,也就是固定的了,想象一下,是不是?在o几何中,三条首尾相接的线段可以构成一个三角形,在f理论中,三个边相重合的角,也可以组成一个三角形,f理论中的边,就对应o理论中的角
f理论中的角,就对应f理论中的边。这种对应,能想象到么?
照这个思路发展下去,我怀疑可能会很像黎曼几何,就是球面几何,要是走上球面几何的路子,就没什么新意了。不过可以锻炼下空间想象能力、理论构架能力。

关于无穷
玄易居士 
那我们先不讲几何了,讲算术,在代数中,有个无穷的概念,1、2、3、4……这样数下去,没完没了,直至无穷大,这个无穷大到底是多大呢,大家谈谈自己对无穷大的看法。

据俺地理老师说,无穷大就是很大,很大到底是多大呢?老师说,很大就是很大很大,很大很大是多大,很大很大就是,你想去吧。老师就这样说得 
玄易居士 
其实呢,大家这样想,也对,复合正常的思维方式,但是呢,有句古话,叫做出奇制胜,如果我们换个思路,我们可以这么想,为什么一定要把无穷大想的很大很大很大呢
晴 
因为无穷额 
玄易居士 
我们完全可以把所谓的无穷大,看做一个固定的数,比如,可以使10000,或者10000000,在远远小于我们设定的值的时候,我们的理论并会受到很大影响
晴 
嗯,你说无穷大是100000000?
玄易居士 
在讨论100以内的数的话,无穷大是100000000,并不会受到什么影响,你说对吗?
晴 
好像也对哦,但如果,讨论1000000000000,以内的数呢?
玄易居士 
讨论1000000000000的话,那我们的理论,就会的发生很大的变化,就好像相对论中,当速度远远低于光速的时候,牛顿理论是近似成立的,但是,当物体速度接近光速的时候,牛顿物理学,就变得不适用了。同样的道理,在讨论无穷大问题的时候,也是这样,如果我们讨论的问题,远远小于这个无穷大,那么,普通的数学理论还是成立的,但是,如果我们讨论的问题,接近这个无穷大的时候,理论就会发生很大的变化。这个能理解么
晴 
嗯 
玄易居士 
好像这个是个创新,我给它取得名字叫“有限无穷分析”。基本思想就是,所谓的无穷大,在一定的理论系统中,就是一个固定的值,给大家转个关于无穷的故事,估计有人看过,设想有一个“无穷旅馆”,内设无穷个房间,每一个房间只能住一个客人,现在,这个旅馆已经客满。这时又来了一位客人想订房间。前台会说:‘没问题,我给你安排’。在又穷的旅馆里,一人一个房间的话,一旦住满了客人,再来了人,就无法安排入住了,但是在无穷的房间数的旅馆里,时虽然每个房间,都住了客人,但是,再来了客人,一样还是可以安排入住的。
这在有穷世界是没有解的事情,但在无穷世界里却完全可以做到:整个安排的过程是:只要把1号房间的客人搬到2号房间,2号房间的客人搬到3号房间,。。。,n号房间的客人搬,到(n+1)房间,。。。,这样,新来的客人就可以住进已被腾出的1号房间了。更有甚者,如果这时又来了一个拥有无穷位客人的旅行团,前台仍然会说:‘没问题,我给你安排’。于是,他就把1号房间的客人搬到2号房间,把2号房间的客人搬到4号房间……对于这个旅馆,能理解么。开这么个旅馆,赚钱赚大了。
这个旅馆,颠覆了我们的常识,那就是,一个注满客人的旅馆,居然还能安排人,大家想不想颠覆这个常识呢,晴,你觉得一个注满客人的旅馆,居然还能安排人,合理不合理?
我们要是换个思路,无穷大就是10000000,他住满了之后,要是想每个房间客人后移一位,1号到2号,2号到3号,好啊,没问题,但是10000000号想搬到10000001号,对不起,不能搬,这已经不属于您的旅馆了。虽然旅馆有无穷个房间,但是,无穷大已经被限制在10000000以内了,这样的话,一个注满旅客的房间,是不能在安排其他客人的,对于这个有限制的无穷大,我倒是考虑了很久,觉得有发展前途。很久以前,我就想系统的写下来,但是比较懒,一直也没写,这个观点在我的数学哲学中有一定的论述,5、9有限无穷初探,说的就是这个思想,前面提到的那个点和直线互换概念,也很好玩,但是于这个相比,但是我不知道发展到最后,会是什么样子,但是直觉告诉我,有限无穷理论,还是有发展前途的,几何学的纯形式公理系统已经相当发达,或许早有人论述过点和直线互换的情形,就算没论述过,我觉得,也会有相关模型,可以合理的解释这个问题,对于有限无穷,可以从自然数理论起开始构造一个新的理论系统,数系扩张、自然数到有理数、到实数,还有虚数,标准分析,也就是微积分那一块,还可以扩展到非标准分析。如果接受了有限无穷的思想,那么会有一个新的变化,那就是数学,也不是精确地,0,不是0,a:1+1=2,b:3-1=2,a中的2和b中的2,也不是完全相同的,当然了,这些不同,必须在更高级的理论系统中才能看得出来,更高级的理论系统对低级理论系统而言,就像是一个望远镜+显微镜。在低级理论系统中看不到的远方,在高级系统中可以看得出来,在低级系统中看着没东西的0,在高级理论系统“显微镜”的作用下,会看到,其实所谓0并不是0,在低级系统中看起来1和1是一样的,但是在高级理论系统中“显微镜”的作用下,两个1并不完全相同,所以他们相减,并非完全等于0。
这个是不是不好理解,9点了,今天就讲这些吧。



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