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百馍问题讲座(已初步整理)

作者:玄易居士 发表时间:2013-11-28 16:21:35

关于一百个和尚一百个馒头问题
玄易居士
大家好, 我将通过一道经典数学题跟大家讨论数学思想方法与数学思维品质问题,这个经典数学题是:一百个和尚一百个馒头,大和尚一人吃三个馒头,小和尚三人吃一个馒头,问有多少大和尚,有多少个小和尚。我们将从这个题的不同做法入手,分析讨论数学思想方法与数学思维品质,还有半个多少时的时间,请大家仔细看看这道题,试试能找出多少种做法.
一百个和尚一百个馒头,大和尚一人吃三个馒头,小和尚三人吃一个馒头,问有多少大和尚,有多少个小和尚。
颖妈
这个题是几年级的?孩子爸说要用二元方程组。
玄易居士
其实,几年级都可以解得,不同的年级有不同的解法,二元一次方程可以解,一元一次方程也可以解,不用方程还能解
涵妈
25个大和尚,75个小和尚对吗
玄易居士
答案是对的,我会从高级到低级讲解各种方法,大约二十多种做法吧,再讲解过程中,大家可以随时叫停讨论,整个讲解过程分为三个阶段,第一阶段讲解各种做法,第二阶段讲解相关数学思想,第三阶段讲讲数学思维品质,先说说二元一次方程的方法吧,刚才颖妈说用二元一次方程,我们假设大和尚个数为x,小和尚个数为y,根据和尚个数为100,可以列出方程a:x+y=100。根据和尚吃的馒头数可以列出方程b:3x+y/3  = 100,然后解方程组可得x=25,y=75,这是二元一次方程的一种做法。
同样是这个思路,我们可以换个角度,设未知数不用和尚数,而用和尚吃的馒头数,同样可以列出另外一组二元一次方程,假设大和尚吃的馒头数为x,小和尚吃的馒头数为y,按馒头数未100,可得方程a:x+y = 100,按和尚数可得方程b:x/3 + y = 100。可以解出x=75,所以大和尚数为25,y=25,所以小和尚数为75。
大家可能说,这两次列的方程组看起来不是一样吗?虽然方程看起来是一样的,但是他们代表的意义是不同的,所以应该算是两种不同的方法,用二元一次方程解完,我们在用一元一次方程解这个问题。
我们假设发和尚个数为x,那么根据和尚总数为100,我们可以得知小和尚个数为100-x,再根据和尚吃的馒头数为100,列出一元一次方程:3x +(100-x)/3 = 100,然后解这个方程,可以解出x=25。大和尚个数为x,假设的大和尚个数为x,所以,大和尚个数为25,小和尚个数为100-25=75个。
用一元一次方程解这个问题,做法比较多,我们可以假设大和尚个数,也可以假设小和尚个数,还可以换个角度,不假设和尚的个数,而是假设和尚吃的馒头数,比如,我们假设小和尚吃的馒头数,一样可以列出一个一元一次方程,甚至我们可以假设大和尚与小和尚相差几个,比如,我们假设大和尚比小和尚多x个,由于大和尚比小和尚多x个,而和尚总数是100个,那么大和尚数量应该是(100+x)/2,而小和尚的个数应该是(100 - x)/2,再根据馒头数为100,列出一个一元一次方程:3*(100+x)/2  + ((100 - x)/2)/3  = 100,这样可以解出x = -50,然后大和尚个数为 (100 + (-50))/2 = 25。虽然这样也解得出来,但是与上面的方法相比,明显麻烦许多,就好像从上海飞到北京,却经过纽约绕了一圈一样,上海到北京,没必要经过纽约的,但是,你如果想看看风景,旅游旅游,经过纽约也未尝不可,如果是训练孩子的思维能力,多角度的想问题,这样解题也是可以的。
这样的话,用一元一次方程借这个问题,恐怕得六七种以上的做法吧。
除了用方程的方法,也可以用函数的方法来解这个问题,我们可以设馒头个数为y,大和尚个数为x,这样就得到一个函数关系式,y = 3x + (100 - x)/3,然后令 y = 100,转化为 一个一元一次方程,可以解出 大和尚个数为25,这是函数的方法的应用,想到函数的方法,我们知道函数的表达方式有三种:列表法、图像法、代数式法。刚才就是用的代数式表示法来解得,我们也可以画出函数图像,
 
用图像法也算是一中解题方法。
另外一种函数表达方法就是列表法,就不在说了,就是列出一些数字,一一对应,最后查找出大和尚个数为25时,馒头数为100 ,符合条件。
我这样讲解,主要是考虑到思考问题的全面性,从不同的角度去思考问题,无论是简洁的,还是复杂的,都去考虑了一下,再实际应用中,其实很多人只要得到了答案,就不在去考虑其他了,或许他的解法是最简洁的,但是也有可能是一般的,如果是从培养思维能力的角度出发,最好是各种情况都去尝试一下,从上海出发去背景,如果你绕到纽约,就会有绕道纽约的收获,如果你绕道重庆,就会有绕到重庆的收获,当然,是否绕道,要看你是旅游,还是赶时间,如果赶时间的话,比如考试期间,再去想那么多方法好久不明智了。
其实方程的方法,除了列出一元一次方程、二元一次方程组,也可以用三元一次方程组,我们可以假设大和尚个数为x,小和尚个数为y,吃的馒头数为z,当然,设馒头数为z,看起来是多余的,呵呵,因为这样有一个方程为  z = 100。
请大家注意: z = 100,依然是一个 方程,说完方程的解法,下面在说说不用方程的解法,就是算术法,昨天在跟孩子玩转科学群,我提过这个问题,有一个网友临沂kelvin爸做出了,我这里就直接把他的过程贴出来。
kelvin爸:假设小和尚也吃三个,那么100个和尚共吃300个,比实际多吃200个,每个小和尚比实际多吃了2又三分之二,所以小和尚数目是200/(2又三分之二)=75,大和尚就是100-75=20,假设大和尚一个人吃三分之一,少吃的总数除以一个大和尚少吃的,也可以直接得到大和尚数量,这是标准鸡兔同笼问题的解决思路。
玄易居士
列出算术式就是  (100 * 3 - 100)/(3 - 1/3)。
一共 有100 个和尚,我们不好确定究竟有几个大和尚,几个小和尚,于是我们假设所有的和尚都是大和尚,这样的话,和尚所吃的馒头数就是 3*100 = 300个,300,100个和尚居然吃了300个馒头,方丈是要生气的,严重透支了,于是下令把部分大和尚赶走,换成小和尚,由于一个小和尚比一个大和尚少吃 3-1/3个,我们需要少吃200个,你们说要换几个和尚呢?那就换200/(3-1/3)个。综合算式就是(100 * 3 - 100)/(3 - 1/3)
我们这是假设所有和尚都是大和尚,同样也可以假设所有和尚都是小和尚,这样会有另外一种做法,综合算式就是  (100 - 100/3)/(3-1/3),说到这里,大家可能想到了,我们刚才讲方程的时候,说到了馒头的角度列方程。其实,算术法列综合算式,也可以假设所有馒头都是大和尚吃的,这里注意差别。前面是假设所有的和尚都是大和尚,但是这里假设的是所有馒头都是大和尚吃的,两者有所差别。
前者和尚数是固定的,而这六,馒头数是固定的,只有100个馒头,假设的是所有馒头都是大和尚吃的,列出的综合算式是   (100 - 100/3)/(3-1/3),跟假设所有和尚都是小和尚的算式是一样的,虽然列出的算式是一样的,但是思维过程却是完全不同的,假设所有馒头都是大和尚吃的,跟假设所有和尚都是小和尚的算式是一样的,很出乎意料吧。同一个算式,居然有两种不同的思维过程,是巧合还是必然,大家自己去想吧。
大家发现没有,如果不允许使用未知数,做题的难度增加了许多,而用一个未知数列一元一次方程,和列二元一次方程组,思维难度又不一样,其实算术法,还有一种更简单的方法,我上网查了一下,说是分组法:
http://blog.sina.com.cn/s/blog_6d95e9e00100o39j.html
一百个馒头一百个僧
  今天妈妈收到了陈老师发来的一条短信,原来是道动脑筋题,题目是:一百个馒头一百僧,大和尚一人吃3个,小和尚3人吃一个,那么小和尚有几人?
  因为这种动脑筋题做多了,我也找出了点规律,所以第一步想都没想就写上了100/(3+1)=25,妈妈吃惊地对我说:“小月,你是怎么想到这一步的呢?”我不屑一顾地说:“猜的呗。”妈妈语重心长地对我说:“小月呀,猜猜是没有用的,应该理解每一步算式的真正含义,要不然就跟没做一样。”仔细想想妈妈说得还真没错,我开始认真地思考起来:“100”是指100个和尚,3个小和尚吃一个馒头,1个大和尚吃3个馒头,不就是4个和尚吃4个馒头吗?这“3+1”也就是3个小和尚和1个大和尚刚好组成一组,那么100/(3+1)=25,就是说100个和尚可以分成像前面组合的25组,每组里有1个大和尚和3个小和尚,顺利成章,100个和尚里面就有25*3=75个小和尚。当我把我的想法原原本本地告诉妈妈,妈妈满意地笑了。
这段是我再网上看到的,我们是否也能从中得到一些启发呢,大家可以自己想想,这是一种什么思路,呵呵,我想了一下,对本题而言,这是最快的一种做法,然而不具备普遍性一般性,100/(3+1)=25,多么简单的算式啊!
刚才说了,如果不允许使用未知数,难度增加了许多,现在在增加一些难度,如果不允许使用分数,不允许使用除法,怎么办,换个角度,大家不允许使用这么复杂的计算,只允许猜测,怎么猜?对于一些超出我们认知能力的问题,我们就可以用尝试法去猜测,
第一种猜测方法,无目的无记录的的乱猜,比如猜大和尚的个数:3,不对;8不对,76,不对;53,不对;21,不对,后来忘了猜过8,于是又猜一边8,不对,或许有人觉得这样猜测没什么意思,其实,猜测假设,然后验证,这也是做题的一种方法。言归正传,无目的无记录的的乱猜,是一种效率非常低下的尝试方法,以前猜错的居然还有可能再猜测一遍,从理论上讲,这种猜测方法,永远猜不出来也是有一定可能的。总是不去猜测25,反正没记录,反正错误可以重复,那就永远猜不出来了。
第二种猜测方法,我们改进一下,在纸上写出1到100,这100个数字,我们每猜测一个数,验证错误后就划掉,直到才对为止,这样的话,错误不会重复,最多一百次,我们就能猜中的,由于无需乱猜,划掉的数字会像筛子一样,所以这种方法可以称为筛子方法。
下面我们还可以改进下,我们不是无序的乱猜,而是从小到大,猜起。这就引入一个“序”的思想,或许我们没注意到,其实排序的思想,还是很重要的。自然数列,就是最基本的序,既然排序了,那么我们猜的角度就很多了,比如,我们可以猜大和尚的个数,也可以猜小和尚的个数,我们可以从1猜起,然后增加直到猜中,也可以从100猜起,然后逐渐减少,直到猜中。
在猜的过程中,我们如果注意到一个细节,3个小和尚吃一个馒头,一个大和尚吃3个馒头,根据这个细节,我们可以判断,小和尚的个数应该是3的倍数,那么我们猜测小和尚的个数的时候,就没必要一个一个增加(或减少)去猜测,而是可以增加步幅,3个3个的增加(或减少)去猜测,这样至少可以节省2/3的猜测量,除了从大到小和从小到大去猜测的话,还有另外一种猜测方法,那就是二分法。
如果综合以上猜测方法的话,我们可以这样去猜测:我们选择猜小和尚的个数,从中间猜起,先猜小和尚个数51,算的吃的馒头数为49*3 + 51 /3 ,这个数是大于100的,于是我们猜测小和尚的个数应该更多,再51到99 这个区间之内,再找中间3的倍数去猜,这个巧了,正好是75,其实,就算不巧的话,一般而言,二分法的猜测效率,也会比前面那些猜测效率高一些。
我所能想到的所有做法,就这些,各种方法所有的变种做法加起来,估计了一下,大约得20种吧
下面就从数学思想方法的角度对这些做法分析一下,我把这些做法分为三个层次,我们最后讲的,猜测尝试法是最低等最原始的层次,但是却更能表现出猜测着的智慧,不同的猜测方法效率差别很大。
第二种层次就是算术法,算术法,就是那个列综合算式的方法,在算术法中,把各种应用问题进行分类归纳,每种类型都有自己的思路,只要学会这种思路、定式,一般而言都会做的,但是如果没学过这种思路,就很难了。上面的问题,可以喝鸡兔同笼归为一类,属于鸡兔同笼问题,小学应用题,中的工程问题、行程问题、植树问题、归一问题,等种种应用题分类方式,都体现了这一点,每一类问题都有自己的思路。算术问题,就是要多了解一些定式,理解问题的本质,见到了自然会做。
第三层次的是代数方法,所谓代数,就是用字母代替数,比如,一元一次方程,二元一次方程组,还有函数中都使用了未知数,xyz,也就是用字母代替数,我们会发现,使用了字母代替数,我们的思维难度急剧的下降了,而且,使用两个未知数列二元一次方程组,比使用一个未知数列一元一次方程再思路上更简单更简洁一些。大家想想这是为什么?
这牵扯到了一个数学的本质问题,究竟什么是数学,数学是干嘛的?不说这么形而上的问题了,下面就解释一下,为什么用了未知数,解决问题的思维过程简单了。
原因是在代数解法中,用确定的、机械的、可操作的解方程步骤,取代了我们算术方法中的不确定性的、跳跃性、不可操作的逻辑推理步骤,解方程的步骤取代了逻辑推理,这就是用代数法要比算术法更容易做出来的原因,为什么第二层次的算术法要比第一层次的猜测法更有效呢,是因为有思维定式,思路的存在,但是,面对广阔的未知的世界,面对未知的未来,其实,有很多东西,没有定式的。
对这个题而言,我们没有提高问题的难度,而是限制降低了我们可使用的数学工具,或者说降低了我们的能力,但是,可以反过来讲,我们的能力不降低,但是我们所遇到的问题,却可能难度提高了,到时候,面对未知的问题,就需要我们具体问题具体分析,就要考验我们猜测尝试的智慧了,就要考验我们的决策能力,考验我们分析问题解决问题的能力了。
扯远了,呵呵,言归正传。其实,使用方程来解决问题,再数学中有一个官方名称,就是“方程的思想”,使用函数来解决问题,就是“函数的思想”,大家在看看算术法与猜测法的区别,再算术法中,比猜测法优越到是呢么地方呢?
我觉得吧,算术法中的逻辑推理,使得我们在尝试法中的偶然性、盲目性、还有获取结果的不确定性变成了必然的、有目的的、可操作的,只要思路对了,就不会像猜测那样盲目。但是猜测法也是有他的积极意义的,它体现了在恶劣的问题条件下我们的决策智慧,用那么多中方法做一道题,有的方法甚至是画蛇添足,自讨麻烦,有什么意义呢?有人说,会一种方法借出来就得了!
我觉得吧,熟练的用十种方法解决一个问题,要比用一种方法熟练地解决一百道题更有意义,毕竟学习,是为了锻炼思维能力,这种能力的体现,就是方法的操控,就是使用各种方法解决各种问题的能力,打个通俗的比方,甲开一个饭店,每个客人都至少给她准备10个菜,乙也开了一个饭店,无论谁去了,千篇一律,都是一个馒头解决问题,一个馒头解决了所有人的吃饱问题,看起来是以不变应万变,其实,乙的饭店,恐怕竞争不过甲的饭店。
下面在从这个题中分析一下数学的思维品质。
对于数学的思维品质,我查了一下,有几种不同的说法,我们这里就简单的提一种就行了,感兴趣的,可以自己去百度下,或者买专业书籍更好,但是花钱。
首先是数学思维的深刻性。
再猜测法中,虽然也给出了问题的答案,但是,并没有看到问题的本质,到了第二层次,在算术法中,猜看到了问题的本质:一百个和尚一百个馒头问题,其实就是典型的鸡兔同笼问题,而对于鸡兔同笼问题,有自己的解题定式。关于定式,刚才说了,应用题的植树问题、行程问题、归一问题,都属于定式,更多的应用题类型,大家可以去百度下,或者买本参考书,需要告诉大家的是,根据我自己的经验,我感觉小学应用题,对于培养孩子的逻辑思维能力,有着不可替代的作用,应用题学不好,往往是逻辑思维能力差的表现,而逻辑思维能力、空间想象能力、计算能力,被称为数学三大基本能力,其中,逻辑思维能力,尤其重要。还有一点,应用题学得不好,逻辑思维能力差,很可能会影响将来物理、化学的学习。这是数学思维的深刻性。
下面是数学思维的广阔性。
就是思路开阔,从不同的层次、不同的角度去分析问题解决问题,比如我们,可以从大和尚的角度去思考问题,也可以从小和尚的角度去思考问题,还可以从他们所吃的馒头的角度思考问题,甚至还可以分组,一个大和尚三个小和尚组成一组来思考问题,我们从方程、函数、逻辑推理以及猜测等不同的视角来解决这个问题,这是思维的广阔性。正因为思维的广阔性,我们才会想到二十种左右的做法。
还有思维的灵活性,比如在猜测法中,三个三个的增加去猜测,就比一个一个的增加去猜测灵活一些,灵活性就是根据具体的情况,去调整自己的策略,既然小和尚个数是三的倍数,我们干嘛还要一个一个增加呢?
第四就是思维的批判性,我们想到了二十余种做法,但是这些做法各有优劣,甚至有的做法只有坏处没有好处,我们可以对各种不同的做法进行评判,看看那种做法好,那种做法差,就好像那个分组法,虽然对本题而言,是做的最快的一种做法,但是却不具备一般性,不具备普遍性,或许,方法也是有所得必有所失吧。
最后,再说一种更重要的思维品质,那就是创新性。
我个人感觉吧,创新,才有价值,把一万人的文章都读一万遍,不如自己写篇文章让别人读一万遍,创新呢,有各种不同的角度,我们可以与过去的自己相比较,过去的自己不会这种方法,但是今天自己新创一种方法,可以解决一些问题,或许这个方法别人早就会了,甚至过时了,但是对于过去的自己而言,是一种创新,也是有意义的。
更好一些,对于同层次的人来说是创新更好,比如,班上的别的小朋友都不会,而我想到了这种方法,这是创新。或许在老师那里,这只是小儿科,但是对于和我同层次的人来说,这就是创新。
最高级的创新,就是历史性的创新,古今中外,就没人提到过没人发现过,这种创新,是最高层次的创新,虽然很难,但是依然有人能做到这种层次的创新,不然人类就无法发展了,对于学生而言,主要是第一层次的创新,自己和过去的自己相比,作为家长,主要应鼓励这种创新,这个层次的也最好操作,当然能做到第二层次的创新更好,与同龄小朋友比,他创新了,会更有成就感。
同时,第二层次的创新,是第三层次创新的基础,既然对于同层次的人来说,经常创新,那么,当你到了最高层次,你的创新,就是历史性的创新。
好了,今天就讲这些,请各位指正。



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